Кошки, мышки и все песчинки Вселенной

«В одном городе у великой реки люди очень любили кошек. В семи домах этого города держали по семь стройных изящных гладкошерстных кошек в каждом. Эти кошки были превосходными охотницами и очень любили ловить мышей. Однажды каждая из них поймала и съела по семь толстых мышек. Каждая из мышек до этого успела уже съесть по семь колосков, каждый из которых, не будь он съеден мышкой, дал бы по семь мер зерна земледельцу. Хотелось бы знать, сколько всего было в семи домах города у великой реки стройных кошек, сколько они вместе съели толстых мышей, сколько всего колосков успели съесть пойманные кошками мышки и сколько мер зерна не досчитались в урожае земледельцы благодаря зловредному аппетиту съеденных грызунов? «

Это задачка из очень старого учебника математики, составленного когда-то в Древнем Египте и сохранившегося до наших дней на одном из папирусов. В XVIII веке до н. э. этот папирус был переписан с какого-то еще более древнего папируса, оригинал которого не сохранился.

Кроме самой задачки, в папирусе есть и совершенно правильное ее решение, которое вполне по силам любому современному школьнику, знакомому с умножением, так что, кто хочет, может убедиться в этом сам. Заметим только, что автор, живший на берегах Нила около четырех тысячелетий тому назад, придумал эту задачку не просто так. Ее решение образует строгую геометрическую прогрессию со знаменателем равным 7. В стране неучей, где не знают математических законов, не овладели навыками арифметики, такой задачи просто не может быть. Из этого легко сделать почти математический по точности вывод: Египет страной неучей не был, и математику там знали совсем неплохо. Да я странно было бы в том усомниться, увидев египетские пирамиды совершенно правильной формы, с четко выверенными сторонами и углами, где каждый камень лежит на своем месте и все доведено почти до совершенства. Наверняка построению таких грандиозных сооружений предшествовали строгие математические расчеты, а значит, в Древнем Египте уже знали не только арифметику, но и геометрию. Это действительно так. В том же папирусе, где записана задача о кошках и мышках, есть и другие задачи, и многие из них геометрические. Не случайно известнейшие греческие авторы древнего мира — «отец истории» Геродот и другой историк и географ Страбон называют египтян «отцами геометрии». Древние египтяне уже в те далекие времена умели рассчитывать площади различных геометрических фигур, в том числе и круга.

«Подумаешь! — скажет какой-нибудь пятиклассник. — Я тоже умею рассчитывать площадь круга, это делается по формуле:

S = r², где S — искомая площадь, r — радиус круга, то есть половина его диаметра, а — это число, равное примерно 3,14.

В том-то и загвоздка, что египтяне значения числа (пи) не знали, а площадь круга рассчитывать умели. Хотя и приблизительно, но с очень малой погрешностью. Для этого они вычисляли площадь квадрата со стороной, равной 8/9 диаметра круга, площадь которого хотели определить. Площадь такого квадрата действительно близка к площади искомого круга, и ошибка при вычислениях очень невелика. Она такова, как если бы во всем теперь известной формуле, по которой вычисляют площадь круга, вместо значения числа подставили бы не 3,14, а 3,16.

Умели египтяне без числа вычислять площади и объемы гораздо более сложных фигур, чем круг, таких как усеченная пирамида или полушарие. Находчивые были в стране фараонов математики, а все началось с того, что египтяне научились считать.

То есть, если быть точным, как это подобает в математике, считать люди научились еще раньше, чем научились писать. Они еще в первобытном обществе владели азами арифметики лучше братьев своих меньших. Но если ты хорошо умеешь считать по пальцам до десяти или даже до двадцати в уме — это еще не значит, что ты сможешь правильно разделить десять мер ячменя между десятью людьми так, чтобы разница между каждым человеком и его соседом составляла 1/8 меры. А это еще одна задачка из того же «математического» папируса.

До составления этого древнего учебника математика в Древнем Египте прошла долгий путь развития, обогатилась многими достижениями знаний и изобретениями. И прежде всего для того, чтобы вести правильные сложные вычисления, людям надо было выдумать цифры — знаки, с помощью которых можно записать число.

Свои цифры египтяне, видимо, придумали в те же времена, что и иероглифы письменности — в середине или начале четвертого тысячелетия до н. э. Цифры эти были просты, но зато и всем понятны. Обычные маленькие вертикальные черточки применялись для записи чисел от 1 до 9, одна черточка — это единица, две черточки соответствовали двойке, три — тройке и т. д., а вот число десять уже изображали другим знаком, напоминающим скобу или подкову. У египтян он, видимо, символизировал путы для скота. Сотню египтяне изображали знаком, напоминающим закрученную веревку, стебель лотоса обозначал тысячу, поднятый вверх человеческий палец — десять тысяч. Сто тысяч египетские математики изображали, рисуя головастика, наверное, потому, что их очень много родится из икры одной лягушки. Фигура сидящего божества с поднятыми руками обозначала миллион — так много, что только богу под силу охватить это число разумом.

Десять черточек-единиц можно было заменить одним знаком десятки, десять десятков — знаком сотни, десять сотен — знаком тысячи и так далее. Это значит, что у египтян была десятичная система счисления, которой пользуются люди и по сей день.

С помощью последовательности из таких цифр египтяне могли записать любое число. Писали они горизонтально справа налево изображая сначала знаки более крупного значения, а потом более мелкие. В общем, так же как и мы, в том же порядке, только начиная запись с другой стороны.

В современных математических записях числа любая цифра в зависимости от ее положения в записи может принимать значения разного порядка. Так, 1 — это просто единица, а если за ней стоит еще какая-то цифра, то та же единица набирает вес и становится уже десятком. Може.т эта цифра означать и сотню, и тысячу, в зависимости от того места (позиции), которое занимает в записи числа. Такая система счисления называется «позиционной».

У египтян же вертикальная палочка всегда оставалась единицей, а «подкова» — десяткой. Поэтому в записи больших чисел египетским математикам приходилось повторять тот или иной знак столько раз, сколько было единиц, десяток, сотен, пока их нельзя было заменить следующей объединяющей цифрой. Например, в числе триста сорок два (342) египтянин написал бы справа налево три знака «скрученной веревки» — три сотни, потом четыре знака «подковы» — четыре десятки и две вертикальные черточки. Записи больших чисел у египтян получались очень громоздкими, а изобретенную ими систему счисления называют «непозиционной». И все-таки египтяне умудрялись правильно складывать, вычитать, делить и умножать, невзирая на трудности оперирования такими цифрами. А это было действительно нелегко. Особенно трудно давались умножение и деление.

Знали они уже и дроби, но у большинства дробей египетских математиков в числителе стояла единица — 1/2, 1/3, 1/4, 1/54 и т.п. Некоторые, особенно часто употребляемые в расчетах египтян дроби имели свои собственные особые знаки: 1/2 обозначалась стилизованным изображением ребра, может быть, потому, что напротив каждого ребра с другой стороны тела есть такое же, 1/4 обозначалась косым крестом — это понятно, ведь крест делит плоскость на четыре части, особые знаки были также у 2/3 и 3/4.

Для определения мер сыпучих веществ, например зерна, существовали у египтян особые дроби. Мера зерна называлась «хеката» (4,785 л), и делилась она в соответствии с мифом египтян о борьбе злого бога Сета с богом Гором. Сет разорвал на части глаз Гора, но мудрый бог Тот восстановил его. Изображения разных кусочков разорванного глаза Гора служили египтянам для обозначения разных частей хекаты — 1/2, 1/4, 1/8, 1/l6, 1/32 и 1/64. Это были уже настоящие дробные иероглифы.

Длину египтяне измеряли в «локтях» (52,3 см), «ладонях» (7 ладоней = 1 локоть) и «пальцах» (4 пальца = 1 ладонь). Мера площади называлась «сечат» и составляла 100 квадратных локтей. Мера веса «дебен» была равна приблизительно 91 кг.

Математика египтян развивалась по мере надобности вместе с цивилизацией. Египетские жрецы не занимались математическими исследованиями в целях развития самой науки, их мысль всегда работала в направлении решения той или иной конкретной практической задачи из повседневной жизни. Сборщику налогов или писцу необходимо произвести правильный учет зерна или скота, жрец-инженер должен рассчитать, сколько понадобится каменных блоков для строительства пирамиды или параметры системы оросительных каналов, приносящих воду могучего Нила к засушливым землям. Или надо узнать, сколько работников потребуется для строительства дворца или пирамид и сколько дней в году будет работать каждый из них, так чтобы у него осталось еще время для работы в собственном хозяйстве, и прочее, прочее. В соответствии с такой направленностью на практическое решение жизненных задач составлялись и математические учебники-папирусы древних египтян.