Ответы

Решая эту задачу по глазомеру, наверное ошибемся, и очень грубо. Надо сделать хотя бы приблизительный расчет.

Поперечник сухой горошины — около 1/2 см. В сантиметровом кубике умещается не менее 2X2X2 = 8 горошин (при плотном сложении несколько более). В стакане емкостью 250 куб. см число горошин не менее 8 X 250 = 2000. Нанизанные на нить, они вытянулись бы на 1/2 X 2000=1000 см, то есть на 10 м.

Вода и вино

При решении этой задачи легко запутаться, если не принять во внимание того, что объем жидкости в бутылках после переливания равен первоначальному—1 л. Рассуждаем далее так. Пусть после переливания во второй бутылке n куб. см вина и, значит, (1000— n ) куб. см воды. Куда девались недостающие n куб. см воды? Они должны, очевидно, оказаться в первой бутылке. Значит, после переливания в вине столько же воды, сколько в воде вина.

Игральная кость

При четырех бросаниях число всех возможных положений игральной кости равно 6x6X6x6= 1296. Допустим, что первое метание уже состоялось, причем выпало единичное очко. Тогда при трех следующих бросаниях число всех возможных положений, благоприятных для Петра, то есть выпадений любых очков, кроме единичного, 5x5x5 = 125. Точно так же возможно по 125 благоприятных для Петра расположений, если единичное очко выпадает только при втором, только при третьем или только при четвертом бросании. Итак, существует 125 + 125 + 125 + 125 = 500 различных возможностей для того, чтобы единичное очко при четырех бросаниях появилось один, и только один раз. Неблагоприятных же возможностей существует 1296 — 500 = 796, так как неблагоприятны все остальные случаи.

Мы видим, что у Владимира шансов выиграть больше, чем у Петра: 796 против 500.

Французский замок

Нетрудно сосчитать, что число различных замков равно 10X10X10X10X10=100000.

Каждому из этих 100 000 замков соответствует свой ключ— единственный, которым замок возможно открыть. Существование 100 тысяч различных замков и ключей, конечно, вполне обеспечивает владельца замка, так как у желающего пробраться в помещение с помощью подобранного ключа есть только один шанс из 100 тысяч напасть на подходящий ключ.

Наш подсчет примерный: он сделан в предположении, что каждый стерженек замка может быть разделен надвое только 10 способами. В действительности возможно сделать это, вероятно, большим числом способов, и тогда число различных замков значительно увеличивается. Отсюда ясно преимущество французского замка (если он хорошо изготовлен) перед обыкновенными, среди которых на каждую дюжину приходится один-два одинаковых.

Сколько портретов?

Число портретов значительно больше тысячи. Сосчитать их можно следующим образом. Обозначим девять частей портретов римскими цифрами: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII и IX; для каждой части имеются четыре полоски, которые мы перенумеруем арабскими цифрами: 1, 2, 3, 4.

Возьмем полоску I, 1. Можем присоединить к ней полоски II, 1; II, 2; II, 3; II, 4.

Всего, следовательно, здесь возможны четыре сочетания. Но так как часть головы I может быть представлена четырьмя полосками (I, 1; I, 2; I, 3; I, 4) и каждая из них может быть соединена с частью II четырьмя различными способами, то две верхние части головы I и II могут быть соединены 4X4 = = 16 различными способами.

К каждому из этих 16 расположений можно присоединить часть III четырьмя способами (III, 1; III, 2; III, 3; Ш,4); следовательно, первые три части физиономии могут быть составлены 16×4 = 64 различными способами.

Таким же образом узнаем, что части I, II, III, IV могут быть расположены 64 х 4 = 256 различными способами; части I, II, III, IV, V—1024 способами; части I, II, III, IV, VI — 4096 способами и т. д. И наконец, все девять частей портрета можно соединить 4X4X4X4X4X4X4X4X4, то есть 262 144 способами.

Итак, из девяти наших брусков возможно составить не 1000, а больше четверти миллиона различных портретов!

Задача весьма поучительна: она объясняет нам, почему так редко встречаются две одинаковые человеческие физиономии. Еще в «Поучении» Мономаха выражается изумление по поводу того, что при огромном числе людей на свете каждый имеет свое особое лицо. Но мы сейчас убедились, что если бы человеческое лицо характеризовалось только девятью чертами, допускающими каждая всего четыре видоизменения, то могло бы , существовать более 260 000 различных лиц. В действительности же характерных черт человеческого лица больше девяти, и видоизменяться они могут больше чем четырьмя способами, так, при 20 чертах, варьирующих каждая на 10 ладов, мы имеем различных лиц: 10X10X10X10…  (20 множителей), то есть 10²⁰, или 100 000 000 000 000 000 000.

Это во много раз больше, чем людей во всем мире.

Листья дерева

Не только дом, но и иной небольшой город можно было бы окружить расположенными в ряд листьями одного дерева, потому что такой ряд тянулся бы километров на двенадцать! В самом деле: на старом дереве не менее 200—300 тысяч листьев. Если остановиться даже на числе 250 тысяч и считать каждый лист шириной 5 см, то ряд получается длиной 1 250 000 см, то есть 12 500 м, или 127г км.

Миллион шагов

Миллион шагов гораздо больше 10 км, больше даже 100 км. Если длина шага примерно SU м, то 100 000 шагов = 750 км. Так как от Москвы до Ленинграда всего 640 км, то, сделав от Москвы миллион шагов, вы отошли бы дальше, чем на расстояние до Ленинграда.

Кубический метр

Оба ответа далеки от истины, потому что столб получился бы в 100 раз выше самой высокой горы на Земле. Действительно, в кубическом метре 1000 X 1000 X 1000, то есть миллиард кубических миллиметров. Поставленные один на другой, они образовали бы столб высотой 1000 000 000 мм, или 1 000 000 м, или 1000 км.

Кто больше?

Оба насчитали одинаковое число прохожих. Действительно, хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, но тот, кто ходил, видел зато вдвое больше встречных людей.