Развлечения с монетами

— Вчера ты обещал показать фокус с монетами,— напомнил я брату за утренним чаем.

— С утра за фокусы? Ну ладно. Опорожни-ка полоскательную чашку.

На дно опорожненной чашки  брат  положил  серебряную монету:

— Смотри в чашку, не двигаясь с места и не подаваясь вперед. Видна тебе монета?

— Видна.

Брат немного отодвинул от меня чашку:

— А теперь?

— Вижу краешек монеты. Остальное заслоняется. Слегка отодвинув чашку еще дальше от меня, брат достиг

того, что монета более не была видна, заслоняемая целиком стенкой чашки.

—  Сиди смирно, не двигайся. Я наливаю в чашку воды. Что стало с монетой?

—  Снова видна вся, словно приподнялась вместе с дном. Отчего это?

Взяв карандаш, брат нарисовал на бумаге чашку с монетой. И тогда мне стало все ясно. Пока монета находилась на дне сухой чашки, ни один луч света от монеты не мог достигнуть глаза, потому что свет шел по прямым линиям, а непрозрачные стенки чашки стоят как раз на пути между монетой и глазом. Когда же налили воды, дело изменилось: переходя из воды в воздух, лучи света переламываются (физики говорят: «преломляются») и скользят уже поверх края чашки, попадая в глаз. Но мы привыкли видеть вещи только в месте исхода прямых лучей и потому невольно помещаем монету не там, где она лежит, а повыше, на продолжении преломленного луча. Оттого-то нам и кажется, будто дно чашки приподнялось вместе с монетой.

— Советую запомнить этот опыт,— прибавил брат.— Он пригодится тебе во время купанья. Купаясь в мелком месте, где видно дно, никогда, не забывай, что ты видишь дно выше его настоящего положения. И порядочно выше: примерно на целую четверть глубины. Где истинная глубина, скажем, 1  метр, тебе покажется всего лишь 75 сантиметров. С купающимися детьми не раз уже случались несчастия по этой причине: полагаясь на обманчивую  видимость, они  неправильно оценивали   глубину.

— Я заметил, что когда медленно плывешь в лодке над таким местом, где видно дно, то кажется, что наибольшая глубина лежит как раз под самой лодкой, а кругом гораздо мельче. Но переходишь в другое место — и опять кругом тебя мелко, а прямо под тобой глубоко. Так и кажется, что глубокое место кочует вместе с лодкой. Отчего это?

—  Теперь это тебе нетрудно будет понять. Дело в том, что лучи, выходящие из воды почти отвесно, меньше других меняют свое направление, оттого и дно в таких местах кажется, менее приподнятым, чем в других, откуда в наш глаз вступают косые лучи. Естественно, что самое глубокое место должно казаться нам лежащим прямо под лодкой, хотя бы дно было совсем ровно… А теперь проделаем опыт совсем

другого рода.

Брат наполнил стакан водой до самых краев:

—  Как ты думаешь: что произойдет, если я теперь брошу в этот стакан двугривенный?

—  Известно что: вода перельется через край.

— Попробуем.

Осторожно, избегая сотрясений, брат опустил в полный стакан монету. Однако не вылилось ни капли.

—  Теперь попробуем опустить еще двугривенный,—сказал брат.

—  Тогда уж наверное прольется,— предостерег я.

И ошибся: в полном стакане нашлось место и для второй монеты. За нею последовала в стакан третья монета, потом четвертая.

—  Что за бездонный стакан! — вырвалось у меня.

Брат молчал и невозмутимо продолжал опускать в стакан монету за монетой. Пятый, шестой, седьмой двугривенный, упали на дно — вода не выливалась. Я не верил своим глазам,- Мне не терпелось узнать разгадку.

Но брат не спешил объяснять. Он осторожно опускал монеты и остановился только на 15-м двугривенном.

— Ну), пока достаточно,— сказал он наконец.

—Заметь, как вздулась вода у краев стакана.

В самом деле: вода стала выше стенок стакана примерно на толщину спички, округляясь у краев, словно в прозрачном мешочке.

— В этом вздутии и кроется вся разгадка,— продолжал брат.— Вот куда девалась та вода, которую вытеснили монеты.

— 15 монет вытеснили так мало воды? — изумился я.— Ведь стопка из 15 двугривенных довольно высока, а здесь тонкий слой, едва толще двугривенного.

—  Ты прими в расчет не только толщину слоя, но и его площадь. Пусть толщина водяного слоя даже и не толще двугривенного. Зато ширина больше во сколько раз?

Я прикинул: стакан раза в четыре шире двугривенного.

—  В четыре раза шире и одинаковой толщины. Значит,— заключил я,— слой больше двугривенного всего только в четыре раза. В стакане могло бы поместиться четыре монеты, а ты погрузил уже 15 и собираешься, кажется, еще накладывать. Откуда же берется место?

—  Расчет твой неверен. Если один круг вчетверо шире другого, то площадь его больше не в четыре, а в 16 раз.

—  Вот как?

—  Ты должен был бы знать это. Сколько в квадратном метре квадратных сантиметров? Разве 100?

—  Нет: 100 X 100 = 10000.

— Вот видишь. Для кругов верно то же правило: вдвое шире — вчетверо большая площадь; втрое шире — в девять раз большая; вчетверо шире — в 16 раз, и так далее. Значит, объем водяного вздутия над краями стакана больше объема двугривенного в 16 раз. Понятно тебе теперь, откуда взялось место в стакане? И еще возьмется, потому что вода над краями может вздуться раза в два толще двугривенного.

—  Так неужели ты мог бы наложить в стакан 20 монет?

—  Даже больше, если погружать осторожно, без сотрясений.

—  Никогда не поверил бы, что в стакане, до краев полном воды, может найтись место для стольких монет!

Пришлось, однако, поверить, когда я собственными глазами увидал эту горку монет внутри стакана.

—  А мог бы ты,— сказал брат,— положить 11 монет в 10 блюдец так, чтобы в каждом блюдце лежало только по одной монете?

—  Блюдца с водой?

—  Хоть и сухие, как тебе удобнее,— рассмеялся брат, ставя в ряд 10 блюдец.

—  Это тоже физический опыт?

—  Нет, психологический. Принимайся же за дело.

— 11 монет в 10 блюдцах, и в каждом по одной… Нет, не сумею,— сразу сдался я.

—  Берись за дело, я помогу тебе. В первое блюдце положим первую монету, а на время также и 11-ю монету.

Я положил в  первое блюдце две монеты, в недоумении

ожидая, что будет дальше.

—  Положил две монеты?.. Хорошо. Третью монету клади во второе блюдце. Четвертую монету — в третье блюдце, пятую — в четвертое блюдце, и так далее.

Я исполнил сказанное. И когда положил 10-ю монету в девятое блюдце, то с изумлением увидел, что имеется еще

10-е свободное блюдце.

—  В него мы и положим ту 11-ю монету, которая временно лежала в первом блюдце,— сказал брат и, взяв из первого блюдца лишнюю монету, опустил ее в 10-е блюдце.

Теперь 11 монет лежало в 10-и блюдцах, по одной в каждом… С ума сойти!

Брат проворно собрал монеты, не желая объяснять мне, в

чем тут дело.

—  Должен сам догадаться. Это тебе будет и полезнее и

интереснее, чем узнавать готовые решения.

И, не слушая моих просьб, он предложил мне новую задачу:

—  Вот шесть монет. Расположи их в три ряда так, чтобы в каждом ряду было по три монеты.

— Для этого нужны девять монет.

— С девятью монетами каждый сможет. Нет, надо именно с шестью.

— Опять, значит, какая-нибудь непостижимая штука?

— Слишком  скоро сдаешься!  Смотри, как просто. И он расположил монеты следующим образом:

—  Здесь. три ряда, в каждом по три монеты,— объяснил он.

— Но ведь тут ряды перекрещиваются.

—  И пусть. Разве сказано было, что им нельзя перекрещиваться?

—  Если бы я знал, что так можно, я и сам догадался бы.

—  Ну, так догадайся, как решить ту же задачу другим способом. Но не сейчас — обдумаешь потом, на досуге. И вот тебе еще три задачи в том же роде. Первая: девять монет расположить в 10 рядов, по три монеты

в каждом ряду. Вторая: 10 монет расположить пятью рядами, по четыре в каждом. Третья задача вот какая. Я черчу квадрат на 36 квадратиков. Надо расположить здесь 18 монет, по одной в квадратике, чтобы в каждом продольном и поперечном ряду лежало по три монеты… Да, я вспомнил

монетами. Возьми в одну руку пятиалтынный, в другую — гривенник, но не показывай и не говори мне, в какой руке

у тебя какая монета. Я угадаю. Ты только проделай в уме следующее: удвой то, что у тебя в правой руке, утрой то, что в левой, и сложи все, что получилось. Готово?

—  Есть.

—  Четное или нечетное получилось число?

—  Нечетное.

—  Гривенник в правой руке, пятиалтынный в левой,— сразу же объявил брат, и угадал.

Проделали еще раз. Результат получился четный, и брат безошибочно указал, что гривенник в левой руке •

—  И об этой задаче подумай на досуге- сказал брат.— А в заключение покажу тебе любопытную игру с монетами.

Поставив рядом три блюдца, брат положил в первое блюдце стопку монет: внизу рублевую, на ней полтинник, выше двугривенный, потом пятиалтынный и гривенник.

—  Всю эту горку из пяти монет нужно перенести на третье блюдце, соблюдая следующие правила. Первое правило: за один раз перекладывать только одну монету. Второе никогда не класть большую монету на меньшую. Третье: можно временно класть монеты и на среднее блюдце, соблюдая оба правила, но к концу игры все монеты должны очутиться на третьем блюдце в первоначальном порядке. Правила, как видишь, несложные. А теперь приступай к делу.

Я принялся перекладывать. Положил гривенник на третье блюдце, пятиалтынный на среднее, и запнулся. Куда положить двугривенный? Ведь он крупнее и гривенника и пятиалтынного.

— Ну что же? — выручил меня брат.— Клади гривенник на среднее блюдце — на пятиалтынный.—Тогда для двугривенного освободится третье блюдце.

Я так и сделал. Но дальше новое затруднение. Куда положить полтинник? Впрочем, я скоро догадался: перенес сначала гривенник на первое блюдце, пятиалтынный на третье и затем гривенник тоже на третье. Теперь полтинник можно положить на свободное среднее блюдце. Дальше, после длинного ряда перекладываний, мне удалось перенести также рублевую монету с первого блюдца и, наконец, собрать всю кучку монет на третьем блюдце.

—  Сколько же ты проделал всех перекладываний? — спросил брат, одобрив мою работу.

—  Не считал.

— Давай сосчитаем. Ведь интересно же знать, каким наименьшим числом ходов можно достигнуть нашей цели. Если бы кучка состояла не из пяти, а только из двух монет — пятиалтынного и двугривенного, то сколько бы понадобилось ходов?

—  Три: гривенник на среднее блюдце, пятиалтынный на третье и затем гривенник на третье блюдце.

—  Правильно. Прибавим теперь еще монету — двугривенный — и сосчитаем, сколькими ходами можно перенести кучку из этих монет. Поступаем так: сначала последовательно переносим меньшие две монеты на среднее блюдце. Для этого нужно, как мы уже знаем, три хода. Затем перекладываем двугривенный на свободное третье блюдце — один ход. А тогда перекладываем обе монеты со среднего блюдца тоже на третье — еще три хода. Итого всех ходов; 3+1+3 = 7.

—  Для четырех монет позволь мне сосчитать самому число ходов. Сначала переношу три меньшие монеты на среднее блюдце — семь ходов, потом полтинник на третье блюдце—один ход, а затем снова 3 меньшие монеты на третье-блюдце— еще семь ходов. Итого: 7 + 1 + 7 = 15…

—  Отлично. А для пяти монет?

—   15 + 1 + 15 = 31.

—  Ну, вот ты и уловил способ вычисления. Но я покажу тебе, как можно его упростить. Заметь, что полученные нами числа 3, 7, 15, 31 — все представляют собой двойку, умноженную на себя один или несколько раз, но без единицы. Смотри!—И брат написал табличку:

3 = 2X2—1,

7 = 2X2x2—1,

15 = 2x2X2x2—1,

31 =2X2X2x2x2—1.

— Понимаю: сколько монет перекладывается, столько раз берется двойка множителем, а затем снимается единица. Я мог бы теперь вычислить число ходов для любой кучки монет. Например, для семи монет:

2X2X2X2X2X2X2 — 1 = 128 — 1 = 127.

— Вот ты и постиг эту старинную игру. Одно только практическое правило надо тебе еще знать: если в кучке нечетное число монет, то первую монету перекладывают на третье блюдце, если четное — то на среднее блюдце.

—  Ты сказал: старинная игра. Разве ты не сам ее придумал?

— Нет, я только применил ее к монетам. Сама же игра очень древнего происхождения и зародилась, вероятно, в Индии. Там существует преинтересная легенда, связанная с этой игрой. В городе Бенаресе имеется будто бы храм, в котором индийский бог Брама при сотворении мира установил три алмазные палочки и надел на одну из них 64 золотых кружка: самый большой внизу, а каждый следующий меньше предыдущего. Жрецы храма обязаны без устали, днем и ночью, перекладывать эти кружки с одной палочки на другую, пользуясь третьей как вспомогательной и соблюдая правила нашей игры: переносить зараз только один кружок и не класть большего на меньший. Легенда говорит, что, когда будут перенесены все 64 кружка, наступит конец мира.

— О, значит, мир давно уже должен был погибнуть!

— Ты думаешь, кажется, что перенесение 64 кружков не должно отнять много времени?

— Конечно. Делая каждую секунду один ход, можно ведь в час успеть проделать 3600 перенесений.

—  Ну и что же?

— А в сутки — около 100 тысяч. В 10 дней — миллион ходов. Миллионом же ходов можно, наверное, перенести не 64 кружка, а хоть целую тысячу.

— Ошибаешься. Чтобы перенести 64 кружка, нужно круглым счетом 500 миллиардов лет!

— Но почему это? Ведь число ходов равно только произведению 64 двоек, а это составляет…

— «Только» 18 триллионов с лишком, если называть триллионом миллион миллионов миллионов.

— Погоди, я сейчас перемножу и проверю.

— Прекрасно. А пока будешь умножать, я успею сходить по своим делам,— сказал брат и ушел.

Я нашел сначала произведение 16 двоек, затем умножил этот результат — 65 536 — сам на себя, а то, что получилось, снова на себя. Скучная работа, но я вооружился терпением и проделал ее до конца. У меня получилось такое число:

18 446 744 073 709 551616.

Брат, значит, был прав…

Набравшись храбрости, я принялся за те задачи, которые брат предложил мне решить самостоятельно. Они оказались не такими уж сложными, а некоторые даже и очень легкими. С 11 монетами в 10 блюдцах дело было до смешного просто: мы клали в первое блюдце первую и одиннадцатую монеты; затем во второе блюдце третью монету, потом четвертую монету и т. д. А где же вторая монета? Ее совсем не клали! В этом и весь секрет. Так же прост секрет отгадывания, в какой руке гривенник: ведь 15 копеек при удвоении дают четное число, а при утроении — нечетное; гривенник же всегда дает четное число; поэтому если в сумме получалось число четное, то, значит, 15 копеек были удвоены, то есть находились в правой руке, а если сумма нечетная, то ясно, что 15 копеек были утроены, то есть находились в левой руке. Решения задач с размещениями монет ясны из прилагаемых чертежей (рис. 10).

 

Наконец, задача с монетами в квадратиках решается так, как показано здесь на чертеже (рис. 11): 18 монет размещены в квадрате с 36 клетками, и при этом в каждом ряду находится по три монеты.