Ответы

  Телега

На первый взгляд задача эта кажется не относящейся вовсе к геометрии. Но в том-то и состоит овладение этой наукой, чтобы уметь обнаруживать геометрическую основу задачи там, где она замаскирована посторонними подробностями. Наша задача по существу безусловно геометрическая: без знания геометрии ее не решить.

Итак, почему же передняя ось телеги стирается больше задней? Всем известно, что передние колеса меньше задних. На одном и том же расстоянии малый круг оборачивается большее число раз, чем круг покрупнее; у меньшего круга и окружность меньше — оттого она укладывается в данной длине большее число раз. Теперь понятно, что при всех поездках телеги передние ее колеса делают больше оборотов, нежели задние, а большее число оборотов, конечно, сильнее стирает ось.

 

Число граней

Задача вовсе не шуточная и вскрывает ошибочность обычного словоупотребления. У шестигранного карандаша не шесть граней, как, вероятно, полагает большинство. Всех граней у него, если он не очинён, восемь: шесть боковых и еще две маленькие «торцовые» грани. Будь у него в действительности шесть граней, он имел бы совсем иную форму — бруска с четырехугольным сечением.

Привычка считать у призм только боковые грани, забывая об основаниях, очень распространена. Многие говорят: трехгранная призма, четырехгранная призма и т. д., между тем как призмы эти надо называть: треугольная, четырехугольная и т. д. — по форме основания. Трехгранной призмы, то есть призмы о трех гранях, даже и не существует.

Поэтому карандаш, о котором говорится в задаче, правильно называть не «шестигранным», а «шестиугольным».

 

Что тут нарисовано?

Нарисованы — в необычном повороте — следующие вещи: бритва, ножницы, вилка, карманные часы, ложка. Рассматривая какой-нибудь предмет, мы, собственно говоря, видим его проекцию на плоскость, перпендикулярную к лучу зрения. В данном случае вам были показаны не те проекции, к которым вы привыкли, и этого достаточно, чтобы предмет сделался почти неузнаваемым.

 

Стаканы и ножи

Сделать это вполне возможно, расположив ножи так, как показано на рис. Каждый нож опирается одним концом о стакан, а противоположным — о другой нож, который, в свою очередь, опирается также о нож. Ножи взаимно поддерживают друг друга.

 

 

 

 

 

 

Как это сделано?

 

Секрет очень прост, как видно из рис. 308.

Все дело в том, что выступы и углубления (шпунты и пазы) идут не крестом, как невольно кажется при рассмотрении готовой вещи, а параллельно друг другу в косом направлении. Такие выступы очень ответствующие пазы.

 

 

 

 

 

 

Одна затычка к трем отверстиям

Пригодные  для требуемой цели затычки показаны на рис

Найти затычку

Нужная в данном случае затычка существует. Она имеет форму, показанную на рис. Легко видеть, что одна такая затычка действительно может закрыть и квадратное, и треугольное, и круглое отверстия.

 

Вторая затычка

Существует затычка и для тех дыр, которые изображены на рис.: круглой, квадратной и крестообразной. Она представлена в трех положениях.

Третья затычка

Существует и такая затычка: вы можете видеть ее с трех сторон на рис.

Задачи, которыми мы сейчас занимались, приходится нередко разрешать чертежникам, когда по трем проекциям какой-нибудь машинной части они должны установить ее форму.

 

Две кружки

Та кружка, которая в 1 ½ раза шире. Так как была бы вместительнее в (1 1/2)² , то есть в 2 1,4 раза. Так как она все же она ниже только в два раза, но в конечном итоге она все же вместительнее, чем высокая кружка.

 

Сколько стаканов?

Сравнивая первую и третью полки, мы замечаем, что они отличаются друг от друга следующим: на третьей полке один лишний сосуд среднего размера, зато нет трех малых сосудов. А так как общая вместимость сосудов   каждой   полки одинакова, то, очевидно, вместимость одного среднего сосуда равна вместимости трех малых. Итак, средний сосуд вмещает три стакана. Теперь остается определить вместимость большого сосуда. Заменив на первой полке средние сосуды соответствующим числом стаканов, мы получаем один большой сосуд в 12 стаканов.

Сравнив это со второй полкой, соображаем, что один большой сосуд вмещает шесть стаканов.

 

Две кастрюли

Обе кастрюли — тела, геометрически подобные. Если большая кастрюля в восемь раз вместительнее, то все ее линейные размеры в два раза больше: она вдвое выше и вдвое шире по обоим направлениям. Но раз она вдвое выше и шире, то поверхность ее больше в 2X2, то есть в четыре раза, потому что поверхности  подобных  тел  относятся, как квадраты линейных размеров. При одинаковой толщине стенок вес кастрюли зависит от величины ее поверхности. Отсюда имеем ответ на вопрос задачи: большая кастрюля вчетверо тяжелее меньшей.

 

Четыре куба

На одну чашку надо положить три меньших куба, а на другую один большой. Нетрудно установить, что весы должны остаться в равновесии. Покажем для этого, что сумма объемов трех меньших кубов равна объему самого большего. Это вытекает из равенства:

6³ + 8³ + 10³ = 12³,

то есть

216 + 512+1000= 1728.

 

До половины

Самый простой способ — наклонить бочку так, чтобы вся да дошла до края . Если при этом хоть немного обнаружится дно бочки, значит, вода стояла ниже половины.

 

Если, наоборот, дно окажется ниже уровня воды — значит, вода была налита больше, чем до половины. И, наконец, если верхний край дна будет как раз на уровне воды, значит, вода налита ровно до половины.

 

Что тяжелее?

Правый куб представим себе состоящим из маленьких кубиков, в каждом из которых помещается шарик. Легко видеть, что большой шар занимает такую же долю целого куба, какую составляет каждый малый шарик от малого кубика.

Число всех малых шариков и кубиков нетрудно определить: 6X6X6 = 216. 216 шариков составляют по объему такую же долю от 216 кубиков, как и один шарик от одного кубика, то есть такую же, как и большой шар от большего куба. Отсюда ясно, что в обоих ящиках содержится одинаковое количество металла и, следовательно, вес их должен быть один и тот же.

 

Трехногий стол

Трехногий стол всегда может касаться пола концами своих трех ножек, потому что через каждые три точки пространства может проходить плоскость, и притом только одна; в этом причина того, что трехногий стол не качается. Как видите, она чисто геометрическая, а не физическая.

Вот почему так удобно пользоваться треногами для землемерных инструментов и фотографических аппаратов. Четвертая нога не сделала бы подставку устойчивее; напротив, пришлось бы тогда всякий раз заботиться о том, чтобы она не качалась.

 

Сколько прямоугольников?

Различно расположенных прямоугольников в этой фигуре можно насчитать 225.

 

Шахматная доска

На шахматной доске изображено не 64 квадрата, а гораздо больше: ведь, кроме маленьких черных и белых квадратиков, на ней имеются еще пестрые квадраты, составленные из 4, 9, 16, 25, 36, 49 и из 64 одиночных квадратиков. Все их нужно учесть:

одиночных маленьких квадратиков                   64

составленных из 4 маленьких                             49

           «            «  9        «                                        36

           «            «  9        «                                        25

           «            «  9        «                                        16

           «            «  9        «                                        9

           «            «  9        «                                        4

           «            «  9        «                                        1___

                                                           Итого             204

 

Итак шахматная доска заключает в себе 204 различно расположенных квадратов разной величины.

 

Кирпичик

Ответ, что игрушечный кирпичик весит 1 кг, то есть всего вчетверо меньше, грубо ошибочен. Кирпичик ведь не только вчетверо короче настоящего, но и вчетверо уже да еще вчетверо ниже, поэтому объем и вес его меньше в 4 X 4 X Х4 = 64 раза.

Правильный ответ, следовательно, таков: игрушечный кирпичик весит 4000 : 64 = 62,5 г.

 

Великан и карлик

Вы теперь уже подготовлены к правильному решению этой задачи. Так как фигуры человеческого тела приблизительно подобны, то при вдвое большем росте человек имеет объем не вдвое, а в восемь раз больший. Значит, наш великан весит больше карлика раз в восемь.

Самый высокий великан, о котором сохранились сведения, был один житель Эльзаса ростом в 275 см — на целый метр выше человека среднего роста. Самый маленький карлик имел в высоту меньше 40 см, то есть был ниже исполина-эльзасца круглым счетом в семь раз. Поэтому, если бы на одну чашку весов поставить великана-эльзасца, то на другую надо бы для равновесия  поместить  7X7X7 = 343  карлика — целую толпу.

 

По экватору

Принимая рост человека в 175 см и обозначив радиус Земли через R, имеем: 2 X 3,14 X (R + 175) — 2 X 3,14 X R = 2 X 3,14 X 175 = 1100 см,

то есть около 11 м. Поразительно здесь то, что результат совершенно не зависит от радиуса шара и, следовательно, одинаков на исполинском Солнце и маленьком шарике.

 

В увеличительное стекло

Если вы полагаете, что в лупу угол наш окажется величиной в 17г X 4 = 6°, то дали промах. Величина угла нисколько не увеличивается при рассматривании его в лупу. Правда, дуга, измеряющая угол, несомненно увеличивается, но во столько же раз увеличивается и радиус этой дуги, так что величина центрального угла остается без изменения. Рис. поясняет сказанное.

 

Подобные фигуры

Часто на оба поставленных в задаче вопроса отвечают утвердительно. В действительности же подобны только треугольники; наружный же и внутренний четырехугольники в фигуре рамки, вообще говоря, не подобны. Для подобия треугольников достаточно равенства углов, а так как стороны внутреннего треугольника параллельны сторонам наружного, то фигуры эти подобны. Но для подобия прочих многоугольников недостаточно одного равенства углов (или — что то же самое — одной лишь параллельности сторон) — необходимо еще, чтобы стороны многоугольников были пропорциональны. Для наружного и внутреннего четырехугольников в фигуре рамки это имеет место только в случае квадратов (и вообще — ромбов). Во всех же прочих случаях стороны наружного четырехугольника непропорциональны сторонам внутреннего и, следовательно, фигуры не подобны. Отсутствие подобия становится очевидным для прямоугольных рамок с широкими планками, как на рис. 315. В левой рамке наружные стороны относятся друг к другу, как 2:1, а внутренние, как 4:1. В правой — наружные, как 4:3, а внутренние, как 2:1

 

Высота башни

Чтобы по снимку определить высоту башни в натуре, нужно прежде всего измерить возможно точнее высоту башни и длину ее основания на фотографическом изображении. Предположим, высота на снимке 95 мм, а длина основания 19 мм. Тогда вы измеряете длину основания башни в натуре; допустим, она оказалась равной 14 м.

Сделав это, вы рассуждаете так.

Фотография башни и ее подлинные очертания геометрически подобны друг другу. Следовательно, во сколько раз изображение высоты больше изображения основания, во столько же раз высота башни в натуре больше длины ее основания. Первое отношение равно 95 : 19, то есть 5; отсюда заключаете, что высота башни больше длины ее основания в пять раз и равна в натуре 14 X 5 = 70 м.

Итак, высота городской башни 70 м.

Надо заметить, однако, что для фотографического определения высоты башни пригоден не всякий снимок, а только такой, в котором пропорции не искажены, как это бывает у неопытных фотографов.

 

Что получится?

В квадратном метре тысяча тысяч квадратных миллиметров. Каждая тысяча приложенных друг к другу миллиметровых квадратиков составляет 1 м; тысяча тысяч их составляет 1000 м, то есть 1 км: полоска вытянется на целый километр.

 

В том же роде

Ответ поражает неожиданностью: столб возвышался бы на… 1000 км.

Сделаем устный расчет. В 1 куб. м содержится кубических миллиметров: 1000 X 1000 X 1000. Каждая 1000 миллиметровых кубиков, поставленных один на другой, даст столб в 1000 м = 1 км. А так как у нас кубиков еще в 1000 раз больше, то и составится 1000 км.

 

Сахар

При некотором усилии воображения задача эта, кажущаяся очень замысловатой, решается довольно просто. Предположим для простоты, что куски колотого сахара в поперечнике больше частиц сахарного песка в 100 раз. Представим себе теперь, что все частицы песка увеличились в поперечнике в 100 раз вместе со стаканом, в который песок насыпан. Вместимость стакана увеличится в 100 X 100 X 100, то есть в миллион раз; во столько же раз увеличится и вес содержащегося в нем сахара. Отсыплем мысленно один нормальный стакан этого укрупненного песку, то есть миллионную часть содержимого стакана-гиганта. Отсыпанное количество будет, конечно, весить столько, сколько весит обыкновенный стакан обыкновенного песку. Что же, однако, представляет собой отсыпанный нами укрупненный песок? Не что иное, как колотый сахар. Значит, колотого сахара в стакане заключается по весу столько же, сколько и песка.

Если бы вместо 100-кратного увеличения мы взяли 60-кратное или какое-нибудь другое, дело нисколько не изменилось бы. Суть рассуждения лишь в том, что куски колотого сахара рассматриваются как тела, геометрически подобные частицам сахарного песку и притом расположенные подобным же образом. Допущение это, конечно, не строго верно, но оно достаточно близко к действительности (если только речь идет именно о колотом, а не о пиленом сахаре).

 

Путь мухи

Для решения задачи развернем боковую поверхность цилиндрической банки в плоскую фигуру; получим прямоугольник (рис. 316, а), высота которого 20 см, а основание равно окружности банки, то есть 10 X 3 1/7 = 31 1/2 см (без малого). Наметим на этом прямоугольнике положение мухи и медовой капли. Муха — в точке А, на расстоянии 17 см от основания; капля — в точке В, на той же высоте и на расстоянии полуокружности банки от А, то есть в 15 3/4 см.

 

Чтобы найти теперь точку, в которой муха должна переползти край банки, поступим следующим образом. Из точки В (рис. 316, б) проведем прямую под прямым углом к верхней стороне прямоугольника и продолжим ее на равное расстояние: получим точку С. Эту точку соединим прямой линией с А. Точка D и будет та, где муха должна переползти на другую сторону банки, а путь ADB окажется самым коротким.

Найдя кратчайший путь на развернутом прямоугольнике, свернем его снова в цилиндр и узнаем, как должна бежать муха, чтобы скорее добраться до капли меда (рис. 316, в).

 

Путь жука

Кратчайший путь легко определится, если мы мысленно повернем верхнюю грань камня так, чтобы она оказалась в одной плоскости с передней (рис. 317). Тогда станет очевидным, что кратчайший путь—прямая линия, соединяющая А и В. Какова длина этого пути? Мы имеем прямоугольный треугольник ABC, в котором АС = 40 см, СВ = 30 см. По Пифагору, третья сторона, АВ, должна равняться 50 см, потому что 302 + 402 = 502.

Итак, кратчайший путь АВ = 50 см.

 

Путешествие шмеля

Задача решилась бы очень просто, если бы было сказано, сколько времени понадобилось шмелю на перелет из сада в гнездо. Этого в задаче не сказано, но геометрия поможет нам самим узнать это.

Начертим путь шмеля. Мы знаем, что шмель летел сначала «прямо на юг» в течение 60 минут. Затем он летел 45 минут «на запад», то есть под прямым углом к прежнему пути. Оттуда «кратчайшей дорогой», то есть по примой линии, обратно к гнезду. У нас получился прямоугольный треугольник ABC, в котором известны оба катета АВ и ВС, и надо определить третью сторону — гипотенузу АС.

Геометрия учит, что если какая-нибудь величина содержится в одном катере три раза, а в другом четыре раза, то в третьей стороне —гипотенузе —та же величина должна содержаться ровно пять раз.

Например, если катеты треугольника равны 3 и 4 м, то гипотенуза равна 5 м; если катеты 9 и 12 км, то третья сторона равна 15 км, и т, п. В нашем случае один катет 3 X 15 минут пути, другой — 4 Х 15 минут пути; значит, гипотенуза АС — = 5 X 15 минут пути. Итак, мы узнали, что из сада к гнезду шмель летел 75 минут, то есть 1 1/4 часа.

Теперь легко уже подсчитать, сколько времени пробыл шмель в отсутствии. На перелеты он употребил времени:

1 час + 3/4 часа + 1 1/4 часа — 3 часа.

На остановки у него ушло времени:

1/2 часа + 1 1/2 часа = 2 часа.

Итого: 3 часа + 2 часа = 5 часов.

 

Основание Карфагена

Если площадь воловьей шкуры 4 кв. м, или 4 миллиона кв: мм, а ширина ремня 1 мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезала его спирально) — 4 миллиона мм, или 4000 м, то есть 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок в 1 кв. км, а круглый участок — в 1,3 кв. км.